Burcu Hoca
Tek şekille ispat
Her biri bir dakikalık bir fikir. Oynat düğmesine bas, şeklin formülü kendiliğinden söylemesini izle. Ortaokuldan üniversiteye 40’tan fazla ispat; seviyeye ve konuya göre süzebilirsin.
Ortaokul · Geometri
Hangi üçgeni çizersen çiz, aynı sonuç. Neden?
Tepeden tabana paralel bir doğru çiz. Tabandaki iki açı, iç ters açı olarak tepeye taşınır ve üçü yan yana düz bir doğru oluşturur: 180°.
Ortaokul · Geometri
Kenar sayısı değişiyor, toplam değişmiyor.
Çokgenin çevresinde yürüdüğünü düşün: her köşede dış açı kadar dönersin. Başladığın yere aynı yöne bakarak dönersin, yani toplam bir tam tur. Çokgeni küçültünce dış açılar bir noktada birleşip tam daireyi gösterir.
Ortaokul · Sayılar
Küçük Gauss’un 1’den 100’e toplamı birkaç saniyede bulduğu söylenir.
Toplamı merdiven gibi diz. Aynı merdivenden bir tane daha alıp ters çevirerek üstüne koy: n’ye (n+1) boyutunda bir dikdörtgen olur. Merdiven bu dikdörtgenin tam yarısıdır.
Ortaokul · Cebir
En sık yapılan hata: (a + b)² = a² + b² sanmak.
Kenarı a + b olan kareyi çiz ve kenarları a ile b’den böl. İçinde bir a², bir b² ve iki tane ab dikdörtgeni çıkar. İki dikdörtgeni unutmak, o yaygın hatanın ta kendisidir.
Lise · Analiz
Sonsuz tane sayı toplanıp sonlu bir sonuç çıkabilir mi?
Bir kareyi yarıya böl, kalanın yarısını boya, sonra kalanın yarısını… Her adımda boşluk yarıya iner ama boyalı alan karenin dışına asla taşmaz. Boşluk sıfıra yaklaştıkça toplam tam 1 kareye ulaşır.
Ortaokul · Geometri
Bir pizzayı dilimleyip yeniden dizersen ne olur?
Daireyi ince dilimlere ayır ve dilimleri bir aşağı bir yukarı bakacak şekilde yan yana diz. Ortaya, uzun kenarı çevrenin yarısı (πr), yüksekliği r olan bir dikdörtgene yaklaşan şekil çıkar. Alanı πr · r = πr².
Ortaokul · Geometri
Dört üçgen ve küçük bir kare: a² + b² = c² için yeter.
Hipotenüsü c olan kareyi, bacakları a ve b olan dört eş dik üçgen ve ortada kenarı b − a olan küçük bir kareyle doldur. Alan hesabı: c² = 4 · ab/2 + (b − a)² = a² + b².
Üniversite · Analiz
Biri eğim, öbürü alan. Aralarındaki bağ ne?
Eğrinin altındaki alanı x’e kadar biriktiren A(x) fonksiyonunu düşün. x biraz (h kadar) ilerleyince alana yüksekliği f(x), eni h olan ince bir şerit eklenir. Yani A(x+h) − A(x) ≈ f(x)·h ve buradan A′(x) = f(x).
Lise · Analiz
Neden türevlerin çarpımı değil de iki terimin toplamı?
Kenarları f ve g olan bir dikdörtgen düşün. f biraz, g biraz büyüyünce alana iki ince şerit (g·Δf ve f·Δg) ve köşede minicik bir kare (Δf·Δg) eklenir. Değişim sıfıra giderken köşe parçası yok olur, geriye iki şerit kalır.
Lise · Cebir
(a + b)/2 ≥ √(ab): tek bir yarım çemberle.
Çapı a + b olan bir yarım çember çiz. Çapı a ve b uzunluğunda iki parçaya ayıran noktadan dik çık: bu dikmenin boyu √(ab) olur. Yarıçap ise (a + b)/2. Hiçbir dikme yarıçaptan uzun olamaz; eşitlik yalnızca a = b iken.
Ortaokul · Geometri
Alan = (a + c)/2 · h. Bu ikiye bölme nereden geliyor?
Yamuğun bir kopyasını yarım tur döndürüp yanına yapıştır. İki yamuk birlikte, tabanı a + c ve yüksekliği h olan bir paralelkenar oluşturur. Bir yamuk bunun yarısıdır: (a + c) · h / 2.
Lise · Cebir
Türev bilmeden tepe noktasını bulmak mümkün mü?
Parabol, simetri ekseninin iki yanında aynaya bakar gibi aynıdır. Bu yüzden iki kökün tam ortası tepe noktasının x’idir. Kökler toplamı −b/a olduğundan ortası (x₁ + x₂)/2 = −b/2a.
Lise · Cebir
Eksi birin karekökü düzlemde ne anlama gelir?
Bir karmaşık sayıyı i ile çarpınca ok, uzunluğu değişmeden çeyrek tur (90°) döner: i · (3 + 2i) = −2 + 3i. İki kez i ile çarpmak yarım tur demektir; yarım tur da sayıyı −1 ile çarpmakla aynıdır. İşte bu yüzden i² = −1.
Ortaokul · Cebir
|x − 1| ≤ 3 eşitsizliğini tek bakışta çözmek.
|x − 1|, x ile 1 arasındaki uzaklıktır. “Uzaklık en çok 3” demek, 1’in sağına ve soluna 3 birim gitmek demektir. Böylece çözüm doğrudan okunur: −2 ≤ x ≤ 4.
Ortaokul · Cebir
Eksi işareti nereye gidiyor, artı b² nereden geliyor?
Kenarı a olan kareden sağdan ve alttan b genişliğinde birer şerit çıkar. İki şerit köşede b² kadar üst üste biner; yani b²’yi iki kez çıkarmış olursun. Bir kez geri ekle: a² − 2ab + b², kalan da tam (a − b)² karesi.
Ortaokul · Cebir
Köşesi eksik bir kareden bir dikdörtgen çıkarmak.
Kenarı a olan kareden köşedeki b² karesini kes. Kalan L biçimli parçayı tek bir yerinden kesip alttaki parçayı yan çevirerek sağa yapıştır. Ortaya kısa kenarı a − b, uzun kenarı a + b olan bir dikdörtgen çıkar.
Ortaokul · Sayılar
Ardışık tek sayıları topla: 1, 4, 9, 16…
Bir kareyi L biçimli katmanlar hâlinde büyüt. Kenarı n olan karenin etrafına bir sonraki katman olarak 2n + 1 kare eklenir, çünkü yeni katman iki kenar artı köşe demektir. Katmanlar 1, 3, 5, 7… hep tek sayılardır ve n katman tam n² kare yapar.
Ortaokul · Sayılar
1+2+…+n ile 1+2+…+(n−1) yan yana gelince ne olur?
Tₙ = 1 + 2 + … + n sayısını merdiven gibi diz. Bir önceki merdiveni Tₙ₋₁ ters çevirip boşluğa oturt: tam n × n’lik bir kare olur. Yani Tₙ + Tₙ₋₁ = n².
Ortaokul · Geometri
Yan yatmış bir dikdörtgenden farkı ne?
Paralelkenarın bir ucundan dik bir üçgen kes ve öbür uca taşı. Elinde tabanı a, yüksekliği h olan bir dikdörtgen kalır. Taşımak alanı değiştirmez; alan a · h.
Ortaokul · Geometri
Taban çarpı yükseklik, bölü iki. Peki neden?
Üçgenin bir kopyasını al, bir kenarının orta noktası etrafında yarım tur döndür. İki üçgen birlikte tabanı a, yüksekliği h olan bir paralelkenar oluşturur. Üçgen bunun tam yarısıdır.
Ortaokul · Geometri
Her çemberde çevre, çapın 3,14… katı. Neden hep aynı sayı?
Bir çemberi düz bir çizgi üzerinde tam bir tur yuvarla; bıraktığı iz çevre uzunluğudur. Bu izi çapla ölç: üç çap sığar, bir de küçük parça artar. Bütün çemberler birbirine benzer olduğundan bu oran, yani π, çember büyüse de küçülse de değişmez.
Ortaokul · Sayılar
10 güvercin, 9 yuva: biri mutlaka paylaşır.
Her yuvada en fazla bir güvercin olsaydı toplam güvercin sayısı en fazla yuva sayısı kadar olurdu. 10 > 9 olduğundan bu mümkün değil; en az bir yuvada iki güvercin oturur. Bu kadar basit bir fikir, matematikte çok şey kanıtlar.
Lise · Geometri
Üç doğru, hep aynı noktada buluşuyor. Tesadüf mü?
Bir doğru parçasının orta dikmesi, iki uca eşit uzaklıktaki noktaların tamamıdır. AB ve BC’nin orta dikmelerinin kesiştiği O noktası A’ya, B’ye ve C’ye eşit uzaklıktadır. Eşit uzaklık demek AC’nin orta dikmesinde de olmak demek. Üçüncü doğru mecburen oradan geçer; O da üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.
Lise · Sayılar
C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) kuralının kısa hikâyesi.
n kişiden k kişilik bir takım seçerken bir kişiye, Ali’ye, bak. Ali takımda ise geri kalan n − 1 kişiden k − 1 kişi seçilir; takımda değilse n − 1 kişiden k kişi. Her takım bu iki durumdan tam birine girer, o yüzden sayılar toplanır.
Lise · Sayılar
C(n, k) = C(n, n − k): 7’den 3 seçmek, 7’den 4 seçmekle aynı.
7 kişiden 3 kişilik bir takım seçtiğinde aslında dışarıda kalacak 4 kişiyi de seçmiş olursun. Her 3’lü seçime tam bir 4’lü dışarıda kalanlar kümesi karşılık gelir ve tersi. Birebir eşleşen iki küme aynı sayıda elemana sahiptir.
Lise · Geometri
Çemberin kenarından bakınca açı yarıya iniyor.
P noktasından merkez O’ya bir çap çiz. OA = OP olduğundan AOP ikizkenar; tabandaki açılar eşit. Bu üçgenin P’deki açısı α ise, O’daki dış açısı iki taban açısının toplamı 2α olur. Aynı şey öbür tarafta da geçerli; toplayınca merkez açı, çevre açının iki katı çıkar.
Lise · Geometri
Yarım çemberin üzerindeki her nokta aynı dik açıyı görür.
P’den merkeze yarıçapı çiz: iki ikizkenar üçgen oluşur. Birinin taban açıları α, öbürününki β. Büyük APB üçgeninin açıları α, β ve α + β; toplamları 180° olduğundan 2α + 2β = 180°, yani P’deki açı α + β = 90°.
Lise · Geometri
c² = a² + b² − 2ab·cos γ: aslında bir Pisagor.
B köşesinden b kenarına dik indir. Yükseklik a·sin γ, dikmenin ayağı C’den a·cos γ uzakta. Dik üçgende Pisagor yaz: c² = (b − a·cos γ)² + (a·sin γ)². Parantezleri açınca sin² + cos² = 1 sadeleşir ve kosinüs teoremi kalır.
Lise · Geometri
sin a·cos b + cos a·sin b: iki yükseklik üst üste.
Uzunluğu 1 olan bir çubuğu yatayla a + b açısı yapacak şekilde tut; yüksekliği sin(a + b). Önce a açılı doğrultuda cos b kadar git, sonra o doğrultuya dik olarak sin b kadar çık; aynı uca varırsın. İlk parçanın yüksekliği cos b·sin a, ikincisininki sin b·cos a. Topla.
Lise · Analiz
Üç renk, hep eşit pay; biri tam üçte bir.
Kareyi dörde böl: bir çeyreği turuncu, birini mavi, birini sarı boya; dördüncüyü yine dörde böl ve aynısını yap. Sonsuza dek sürdür. Her adımda üç renk eşit pay alır, bu yüzden sonunda her renk karenin tam üçte biridir. Turuncunun toplamı 1/4 + 1/16 + 1/64 + … idi.
Lise · Sayılar
Küplerin toplamı bir kare; hem de Gauss toplamının karesi.
Kenarı 1 + 2 + … + n olan büyük kareyi L biçimli şeritlere ayır. k’ıncı şeridin kalınlığı k, iki kolunun uzunlukları toplamı Tₖ + Tₖ₋₁ = k²; alanı k · k² = k³. Şeritler birleşince kare tamamlanır: küplerin toplamı karenin alanıdır.
Lise · Sayılar
Karesi 2 olan kesir olsaydı, kareler çelişirdi.
p² = 2q² olan en küçük tam sayılar olsun: kenarı p olan kare, kenarı q olan iki kare kadar yer kaplar. İki q karesini büyük karenin karşı köşelerine koy: ortada üst üste binen bir kare, köşelerde iki boş kare kalır. Alanlar eşit olduğundan üst üste binen alan boş alana eşittir: daha küçük bir çözüm bulduk. Bu, en küçük seçtiğimizle çelişir.
Lise · Sayılar
Öklid’in iki bin yıllık, hâlâ en zarif ispatı.
Elindeki bütün asalları çarp ve 1 ekle. Çıkan sayı listedeki her asala bölündüğünde 1 kalanını verir, yani hiçbiri onu bölmez. Ama her sayının bir asal böleni vardır; öyleyse listede olmayan bir asal daha var. Liste ne olursa olsun bu böyle sürer.
Lise · Geometri
Köşe, kenar, yüz: ne çizersen çiz aynı sonuç.
Düzlemde tek bir noktayla başla: V = 1, E = 0, F = 1 (dış bölge), fark 2. Şekli kenar kenar kur. Her yeni kenar ya yeni bir köşeye gider (V ve E birlikte 1 artar) ya da iki eski köşeyi birleştirip bir bölgeyi ikiye böler (E ve F birlikte 1 artar). Her adımda V − E + F değişmez; sonuçta hep 2 kalır.
Lise · Cebir
Dört ortalama, tek yarım çember.
Çapı a + b olan yarım çemberde yarıçap aritmetik ortalama, çapı a ve b’ye bölen noktadan çıkan dikme geometrik ortalama. Dikmenin ucundan yarıçapa indirilen parça harmonik ortalamayı, çemberin tepesinden bölme noktasına çizilen eğik parça da kareli ortalamayı verir. Dik üçgenlerde hipotenüs dik kenardan uzundur; zincir buradan okunur.
Üniversite · Cebir
|u·v| ≤ |u||v|: izdüşüm, okun kendisinden uzun olamaz.
İki okun iç çarpımı, birinin uzunluğu ile öbürünün onun üzerindeki izdüşümünün çarpımıdır: u·v = |u| · |v| cos θ. İzdüşüm, okun kendisinden hiçbir zaman uzun olamaz; cos θ en fazla 1’dir. Düzlemde bu, (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²) demektir.
Lise · Analiz
Kenarı √x olan bir kare: alanı x.
Kenarı √x olan karenin alanı x’tir. Alanı Δx kadar artırınca kenar Δ(√x) kadar uzar; yeni alan iki ince şerit (her biri √x · Δ(√x)) ve köşede ihmal edilecek kadar küçük bir karedir. Δx ≈ 2√x · Δ(√x), bölünce türev 1/(2√x) çıkar.
Üniversite · Geometri
Yarım küre = silindir − koni. Kesitlere bak.
Yarım kürenin yanına yarıçapı ve yüksekliği r olan bir silindir koy, içinden tepesi tabanda olan bir koni çıkar. Tabandan h yükseklikte yarım kürenin kesiti yarıçapı √(r² − h²) olan bir daire: alanı π(r² − h²). Silindir eksi koninin kesiti ise πr² − πh²: aynı alan. Her yükseklikte kesitleri eşit olan cisimlerin hacimleri eşittir (Cavalieri).
Üniversite · Analiz
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …: terimler küçülüyor ama toplam durmuyor.
Terimleri gruplara ayır: 1/3 + 1/4, sonra 1/5 … 1/8, sonra 1/9 … 1/16. Her grupta terimlerin hepsini gruptaki en küçük terimle değiştir: 2 · 1/4, 4 · 1/8, 8 · 1/16… Her grup en az 1/2 eder. Sonsuz tane yarım toplanınca sonuç sınırsız büyür.
Üniversite · Sayılar
Her listenin dışında kalan bir sayı var.
0 ile 1 arasındaki sayıları (ikilik açılımlarıyla) listelediğini varsay. Köşegene bak: birinci sayının birinci basamağı, ikincinin ikincisi… Bu basamakların her birini ters çevirerek yeni bir sayı kur. Yeni sayı birinci sayıdan birinci basamakta, ikinciden ikinci basamakta… yani listedeki her sayıdan en az bir basamakta farklıdır. Liste eksik; hiçbir liste tam olamaz.
Üniversite · Analiz
Kalemi kaldırmadan çizilen eğri, aradaki her değere uğrar.
Sürekli bir fonksiyon, kalemi kaldırmadan çizilen bir eğridir. Eğri eksenin altında başlayıp üstünde bitiyorsa, bir yerde ekseni geçmek zorundadır: sıçrayamaz. O geçiş noktasında f(c) = 0. Aynı mantık sıfır yerine herhangi bir ara değer için de çalışır.
Üniversite · Analiz
Ortalama hızla giden araba, bir an tam o hızdadır.
Eğrinin iki ucunu birleştiren kirişi çiz ve kendine paralel olarak eğriye doğru kaydır. Eğriden ayrılmadan önce son dokunduğu nokta c’dir; orada kiriş eğriye teğettir. Yani eğimi kirişin eğimine, (f(b) − f(a))/(b − a)’ya eşit olan bir teğet mutlaka vardır.