Lise · Sayılar
p² = 2q² olan en küçük tam sayılar olsun: kenarı p olan kare, kenarı q olan iki kare kadar yer kaplar. İki q karesini büyük karenin karşı köşelerine koy: ortada üst üste binen bir kare, köşelerde iki boş kare kalır. Alanlar eşit olduğundan üst üste binen alan boş alana eşittir: daha küçük bir çözüm bulduk. Bu, en küçük seçtiğimizle çelişir.
İspat adımları
- √2 = p/q olsun; p² = 2q², p en küçük seçilsin. q < p < 2q olur.
- Kenarı p olan kareye iki q karesi karşı köşelerden yerleştirilir: örtüşen kare kenarı 2q − p, boş köşe kareleri kenarı p − q.
- 2q² = p² ⇒ iki q karesinin alanı büyük kareye eşit ⇒ örtüşme = boşluk: (2q − p)² = 2(p − q)².
- (2q − p, p − q) daha küçük bir çözümdür; p en küçüktü, çelişki. Öyleyse √2 rasyonel değildir.